s球表面积公式(s球)

痛心！申花小球迷污言秽语辱骂韦世豪！足球流氓呈现低龄化！

今天在中超联赛第七轮的一场焦点比赛中，卫冕冠军武汉三镇客场与本赛季强势复苏的上海申花奉献了一场精彩的比赛，最终双方1-1握手言和。这本来对双方来说都是一个可以接受的结局，但却让看台上的插曲破坏了球场的和谐。

在比赛结束后，武汉队退场过程中路过申花球迷看台时，一位看上去年龄不会超过十一二岁的申花小球迷对武汉三镇队球员韦世豪进行了大声辱骂，满口污言秽语，CNM、SB等词不绝于耳，表现出远超同龄人的戾气。真的很难以相信，这样恶毒的言语竟然出自一个十多岁的孩子之口。

如果孩子的不成熟还可以用作借口的话，孩子父母的表现更是让人三观碎了一地。视频的背景音显示旁边的家长非但没有阻止自己孩子这种极度缺乏教养的行为，反倒狂笑之后给予了鼓励，旁边的申花球迷竟然也为孩子竖起了大拇指。不禁有些心疼这孩子，他父母体现出来的素质或许已经决定了这孩子这一生的教养上限。

不可思议的事情还在后面，申花队主力门将马镇在得知申花小球迷的“英勇事迹之后”还特地来到场边，似乎是为了鼓励小球迷这种“勇敢”的行为，将自己的球衣送给了他，并与该小球迷亲切合影。这一行为在网上顿时掀起轩然大波，有球迷辛辣的指出如果说小球迷的不当行为还可以解释成为个人行为，马镇的这种公然支持只能理解成是上海申花俱乐部的官方行为，或许申花俱乐部正是要培养这种俱乐部文化。

之前的上海德比中，4名上海海港球迷殴打上海申花球迷被行政拘留，其中还包含一名球迷协会负责人。然而短短一周之后，作为受害者的上海申花部分球迷反过来又将同样的辱骂和暴力施加到了武汉三镇的球员身上。

看来，中国足球落后的不仅仅是管理者、球员和裁判，球迷的素质也是其中之一！或许有些人压根就不是真正的球迷，只能算是足球流氓！他们借助我们喜爱的足球运动，来宣泄对现实生活中的不满，不仅玷污了球队、玷污了这座城市、更玷污了足球这项运动。

值得庆幸的是，更多真正的申花球迷在论坛上纷纷对小球迷及其家长，和门将马镇这种超越道德底线的行为进行了自发的谴责和抵制。

球迷甲：“垃圾球迷，社会的败类！”

球迷乙：“缺乏教养！”

球迷丙：“教育的真好，孩子长大了也对他爹这么说。”

球迷丁讽刺道：“中国足球指日可待！”

当然，我们不能过多的谴责一个孩子，然而孩子背后的父母、背后的足球流氓群体、背后的纵容马镇支持这种不文明行为的申花俱乐部，才是真正应该被谴责的对象!

1分钟看懂视力验光单

疫情过后，很多家长会带孩子检查视力，查视力都会用到电脑验光仪，但是很多家长不知道电脑验光仪打出的验光单代表什么意思，今天教你看懂验光单。

电脑验光仪操作示意图

去专业的眼科机构、视光中心，第一步都会给孩子进行电脑验光，并打印出电脑验光单（如下图）。

电脑验光单

电脑验光单中的字母代表什么意思？可参照下图。

解读电脑验光单

1. R 或 OD 表示右眼，L 或 OS 表示左眼，验光单都是先右后左

2、S、SPH、DS 球镜：近视或远视度数。“-”表示近视。“+”表示 远视。例如：-3.50 表示近视 350 度

3、CYL、DC 柱镜：散光度数，例如：-0.50 表示散光 50 度

4、A、AXl、X 轴位：散光的方向，例如 A：180 表示轴位在 180°方 向

5、PD（R）表示右眼的单眼瞳距、PD（L）表示左眼的单眼瞳距，指 单眼瞳孔中心到鼻梁中心点的距离；PD 双眼瞳距：左右眼瞳孔中心 两点间距离，例如 PD：64mm 表示双眼瞳距 64mm。

如何不用微积分算个球？

前段时间有人问，球的体积计算公式是什么？

由于长期依赖各类搜索，再加上对睡觉，刷剧，电子竞技等一系列新兴趣的开发，这些似曾相识的公式早被我抛诸脑后。之后再拿起笔尝试推导我才愕然发现，基础的微积分计算法则好像也有些生疏了。

于是我开始了相关探索，半天下来，不仅成功算了个球的表面积，还算了个球的体积，而这个过程，和微积分法则毫无关系。那么怎样不用微积分就能算个球呢？

Credit: 3blue1brown

首先，抛弃了微积分这一曲线计算利器，我们的替代工具是：一点点相似三角形知识，一点点空间想象力，再加上中国古代数学家智慧的结晶——祖暅原理。

算个球的表面积！

众所周知，球的表面积公式是 4πr2，正好是同半径圆形面积的4倍，这不禁让人浮想联翩，为什么正好是 4 倍呢？难道圆形面积和球体面积之间有什么不可告人的秘密？顺着这个思路下去你可能会觉得完全无从下手，感到弱小，可怜，又无助。

这也正是我初期经历的心路历程，直到我发现了另一个秘密：4πr2正好是这个球外接圆柱的外围面积。

Credit: 3blue1brown

想象一下，如果把球表面划分小块，沿水平向四周投影，按理来说，这样投出的小块就可以正好铺满外面这个”圆筒”。因为圆筒的面积是圆周长乘上筒高：2πr*2r = 4πr2，和里面这颗球的表面积不谋而合！

就像下图右上角示意的那样，球上的小块被投影到圆筒上会变形，它们的宽度可能增大，而高度会相应变小。

Credit: 3blue1brown

小块可以从平视和俯视两个方向来观察。那我们就来看看，投影过程中，我们的小块到底经历了什么不为人知的变化。

先看俯视图：

Credit: 3blue1brown

从中心轴往外投影，聪明的你一定已经发现，投影的距离越远，小块就会变得越宽。

所以纬度越高的地方，也就是越靠近上下顶点的小块，投到圆筒上之后，宽度增加得越多；位于赤道上的小块与圆筒相接，宽度也就不发生变化。

EF 被拉长成了 CD

如果你知道相似三角形的比例关系，由于 △AEF和△ADC 相似，所以，这个增大的倍数是 r/d，也就是

CD/EF = r/d

对于球上不同的纬度，d 会改变，而球的半径 r 不变。越靠近两极，d 越小，r/d 就越大，小块的宽度增加也就越多，这和我们观察到的现象一致。

类似地，可以看看平视方向的情况：

Credit: 3blue1brown

显然，这个方向上的投影会让小块的高度萎缩，也就是黄色的线段长度会缩短。

因为球的体态圆胖，越靠近两极，小块越是趋近“平躺”，投影之后高度萎缩的也越多；而在赤道上，小块直立，投影不改变小块的高度。

JH 投影后萎缩成了 EF

显然 ∠α=∠β=∠γ，于是 △HAD，△HIJ 两个三角形是相似三角形，根据比例关系，我们知道：

EF/JH = d/r

也就是说，平视方向投影会让小块高度萎缩，缩小比例是 d/r。

于是神奇的现象发生了，球上的每一个小块经过投影之后形状的确会发生变化，宽度拉长了 r/d 倍，同时高度萎缩了 d/r 倍，而这两个倍数相乘正好等于 1。

如此一来，小块投影前后的面积其实没有变化！仅仅利用几个三角形，我们就开心的证明了：计算球的面积可以用外接圆筒的面积来替代。

投影变化前后，小块的面积不变

那么，算个球的表面积 S球= S筒 = 2πr*2r = 4πr2。

祖暅原理

祖暅原理又叫 Cavalieri’s Principle（卡瓦列里原理），因为卡瓦列里在17世纪提出了类似的等积原理，用于复杂几何领域，但实际上祖暅的发现比他早了1100年。

“幂势既同，则积不容异”这句话就出自于祖暅。如果你对高中数学课本有印象，也许记得这里的“幂”指体积，“势”则为高度。意思就是：高度相同的物体，如果每个剖面面积也一样，它们的体积就相等。

祖暅原理的提出本是为了解决计算牟合方盖的体积问题，从而算球的体积。但现在更加常见的用法是下面这样:

图中球的体积等于圆柱去掉两个圆锥的体积，原因就是它们每个剖面的面积都相等。有兴趣的小伙伴可以用半球为例，试着计算。

利用上图很容易发现，在高度是 h 的地方，球的截面积是：π*（r2-h2），而圆柱减去圆锥的截面积是：πr2（圆柱截面）-πh2（圆锥截面），它们正好相等。

于是，算个球问题一下变成了算圆柱和圆锥的体积问题。

算个球的体积！

了解了祖暅原理，我们就可以绕过微积分，直接算球了！

由祖暅原理，半球的体积经过我们巧妙的转化，成了用圆柱和圆锥的体积来表示。

众所周知，圆柱体积是圆面积和高度相乘，V圆柱= πr2*r = πr3。而圆锥的体积，假如你不知道，查阅资料会发现 V圆锥= πr3/3，正好是圆柱的三分之一。

好奇宝宝也许会问，三分之一是怎么来的？既然你诚心诚意的问了，祖暅会大发慈悲的为你解答。

我们还是逮住之前的那个圆锥（截面面积是πh2），然后把烦人的 π 除去，截面积就成了 h2。那么谁的截面积是用 h2 表示呢？答：边长和高度都是 r 的四棱锥。

a. 除去 π 后，圆锥变成了四棱锥（平视图）

b. 四棱锥每一个横截面都是边长为 h 的正方形（斜视图）

这下好了，仅仅是做了个除法，问题似乎已经简单多了！

但你可能还是会问，四棱锥的体积又要怎么计算呢？别着急，我们先好好观察一下这个四棱锥。它的顶点在中心上方，感觉还是不够友好，怎么能再变换一下形状呢，没错，是时候祭出祖暅原理了。

把顶点移到一个角上，新的四棱锥有三条互相垂直的边，并且体积不变

到了这里，问题基本上已经解决了。什么，你还没看出来？调动你的空间想象力，调整一下角度，把这样的四棱锥放在正方体里似乎正合适，你能看出可以同时放进几个吗？

为了让你们相信是 3 个而精心制作的 gif 动图

是 3 个！万事大吉~

正方体的体积显然是 r3，这样一来，四棱锥体积就是 r3/3。接着，对应圆锥的体积只需要乘上 π，V圆锥= r3/3*π。最后半球的体积 V半球= V圆柱 - V圆锥= πr3-πr3/3 = 2/3 (πr3)，所以 V球= 4/3 (πr3)，是不是和书上写的公式一模一样呢！

成功算球！完结撒花~

作为一期数学类的硬核推送，小编想说的是，很多时候只要切换一下思路，尝试别的工具，就可能开辟出新的道路。

所谓的数学之光，我想也就是在这里。

参考资料

Ⅰ. https://youtu.be/4_BEpekImQg

Ⅱ. /d/file/gt/2023-09/wkkiucmh2y1 Yuan

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进入60年代，时尚不再仅是上流社会的专利品，逐渐朝平民化、普及化靠拢，这种时代性的转变，也影响了Sergio Rossi的营业型态，从原来只接受上流上会顾客订单的模式，开始放宽了筛选门槛;而且陆陆续续与其它品牌结携手合作制作女鞋，此一举动，让Sergio Rossi的知名度迅速攀升，在时尚圈内大放光芒，气势水涨船高，版图以等比速度扩张。到1999年时，已是一间跨国际的鞋界龙头老大，制鞋部门人数超过380人，鞋子一年的生产量高达五十六万双，战果相当可观。在1999年决定出售公司70%股份给时尚圈内超重量级的GUCCI集团，而Sergio Rossi本人仍然担任创意总监一职，主导品牌的风格走向。

值得一提的是 Rossi家族成员对鞋履的坚持，Sergio Rossi的儿子Gianvito Rossi也有自己的同名女鞋品牌，设计深受好莱坞女星们的喜欢。GS则更加性感年轻。

Sergio Rossi的设计总是很有标志性，前几年横条金属的鞋头扣，简约大气，很受高级金领人士的喜欢，这2年的大颗施华洛世奇钻装饰的单鞋凉鞋又很受甜美仙女们的追捧。SR的设计总是给你一万个心动的理由。

遗憾的是，Sergio Rossi老先生于今年4月3日，因新冠状肺炎，抢救无效去世，享年84岁。

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