ln2/ln1等于多少(ln2-ln1等于多少)

导数---领你提速

在高中“导数章节”学习中，我们经常遇到两个基本“不等式”。其中一个基本“不等式”还有它的“变式”，在大题证明中能起到“过渡”的作用，只是可能没有起我们的注意，下面重点来讲解一下这两个不等式 。

先讲第一个不等式就是：e^x>=x+1。下面来证明：f(x)=e^x-x-1>=0。 对f(x)求导：f′(x)=e^x-1，显然：x<0时，f′(x)<0，原函数单调递减；当x>0时，f′(x)>0原函数单调递增，故：当x=0时，原函数取最小值，即：f(x)最小=f(0)=e^0-0-1=0，得出结论：e^x-x-1>=0，即e^x>=x+1。

看看这个基本不等式的用途，例一：证明：e^x-x-sin x>=0，如果我们知道：e^x-x-1>=0，而-1<=sin x<=1，这个不等式自然成立，但是若直接对它求导是很难得到证明的。

来看它的变式，对：e^x>=x+1,两边同时求"常用对数“得：x>=ln（x+1），当x取0等号成立。如果令x=1/x得：1/x>ln（1/x+1）>ln（x+1）-lnx。例题，例二：证明：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9>=ln10？现把每一项分解：1>ln2-ln1；1/2>ln3-ln2；以此类推，最后一项：1/9>ln10-ln9。以上各项相加可得：1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9>ln10-ln1>ln10。

最后看另一个基本“不等式”：x>=1+lnx，令f(x)=x-1-lnx。 对f(x)求导：f′(x)=1-1/x。显然：0<x<1时，f′(x)<0，原函数单调递减；当x>1时，f′(x)>0原函数单调递增，故：当x=1时，f′(1)=0，原函数取最小值，即：f(x)最小=f(1)=1-1-ln1=0，即：x-1-lnx>=0或x>=1+lnx。

同样看一个例题，例三：求证：x-e^（-x）-lnx>=0，由于 ：x-1-lnx>0，且原函数定义域：x>0，所以：0<e^（-x）<1，原式：x-e^（-x）-lnx>=0得证。如果直接对原函数求导一样很难证到结论。

综上，导数大题证明有时也需要找一个“过渡”，而上面讲到的“三个公式”确实能起到“桥梁”的作用。

教你快速掌握梁钢筋算量的基本方法

1、梁需要计算的钢筋

2、楼层框架梁钢筋计算方法

上下部贯通钢筋长度算法

公式：长度＝净跨长+左支座锚固+右支座锚固

A.当梁支座足够宽时，上下部纵筋直锚在支座里，应满足如下条件，见图。

左、右支座锚固长度的取值判断：

当hc-保护层(直锚长度)>LaE时， 取Max(LaE ,0.5hc＋5d)

B.当梁支座不能满足直锚时，纵筋应弯锚，满足下图条件。

左、右支座锚固长度的取值判断：

当hc-保护层(直锚长度) ≤ LaE时,必须弯锚， 取Max[(LaE),(0.4 LaE＋15d),(hc-保护层＋15d)

下部非贯通筋长度算法

A.当端支座足够宽时，直锚在支座里

计算公式：

首尾跨下部非贯通筋长度＝净跨Ln1(Ln3)+左右锚入支座内长度Max[(LaE),(0.5hc＋5d)]

中间跨下部非贯通筋长度＝净跨Ln2+左右锚入支座内长度Max[(LaE),(0.5hc＋5d)]

B.当端支座不能满足直锚时，应弯锚

计算公式：

首尾跨下部非贯通筋长度＝净跨Ln1(Ln3)+端支座Max[(LaE),(0.4LaE＋15d),(hc-保护层＋15d)＋中间支座Max[(LaE),(0.5hc＋5d)]

中间跨下部非贯通筋长度＝净跨Ln2+左右锚入支座内长度Max[(LaE),(0.5hc＋5d)]

梁端支座负筋长度算法

第一排长度 = Ln/3+Max[(LaE),(0.4 LaE＋15d),(hc-保护层＋15d)

第二排长度 = Ln/4+Max[同上] （Ln指净跨长）

中间支座负筋长度算法

第一排长度 = 2*max(第一跨,第二跨)净跨长/3+支座宽

第二排长度 = 2*max(第一跨,第二跨)净跨长/4+支座宽

架立筋的计算

连接框架梁第一排支座负筋的钢筋叫架立筋。

注：当梁的上部既有通长筋又有架立筋时，其中架立筋的搭接长度为150

架立筋长度=净跨长-净跨长/3*2＋150*2

首尾跨长度=Ln1-Ln1/3-max(Ln1,Ln2)/3＋150*2

中间跨长度=Ln2-max(Ln1,Ln2)/3-max(Ln2,Ln3)/3 ＋150*2

侧面纵向构造或抗扭钢筋的计算

当梁净高h≥450时，在梁的两个侧面沿高度配置纵向构造钢筋，纵向构造钢筋间距a≤200.

构造筋长度=净跨长+2*15d

梁的侧面抗扭钢筋的计算方法和下通筋一样，分两种情况，直锚和弯锚。

抗扭筋长度=净跨长+2*锚固长度（同框架梁下部纵筋）

侧面纵筋的拉筋长度的计算

拉筋直径取值：梁宽≤350取6mm，>350取8mm

拉筋长度=梁宽-2*保护+2*1.9d+2*max(10d,75mm)+2d

侧面纵筋的拉筋根数的计算

拉筋根数=((净跨长-50*2)/非加密间距*2+1))*排数

梁箍筋的计算

箍筋1长度计算

箍筋1长度=(梁宽b-保护层*2+d*2)*2+(梁高h-保护层*2+d*2)*2+1.9d*2+max(10d,75mm)*2

箍筋2长度计算

箍筋2长度=[(梁宽b-保护层*2－D)/(梁下部第一排纵筋的根数－1)*间距数＋D]*2+[(梁高h-保护层*2]*2+1.9d*2+max(10d,75mm)*2

箍筋根数计算

根数=((左加密区长度-50)/加密间距+1)+(非加密区长度/非加密间距-1)+((右加密区长度-50)/加密间距+1）

根数=((左加密区长度-50)/加密间距+1)+(非加密区长度/非加密间距-1)+((右加密区长度-50)/加密间距+1）

吊筋的计算

吊筋夹角取值：梁高≤800取45度，>800取60度

吊筋长度=次梁宽+2*50+2*(梁高-2保护层)/正弦45度（60度）+2*20d

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复利法则，钱生钱的计算

复利法则是什么意思

复利法则表示的是投资本金翻番的时间。复利法则又称为72定律，具体以投资人投资项目的投资款翻一番所需花费的时间正好是72除以年度回报率。例如，假设复利为2%，则72/2=36。这表示投资需要大约经过36年的复利投资之后，本金才达到翻倍。

72法则表示的是复利计息以1%为基本，在为期72年之后本金翻一番的规律。值得注意的是，72年并不是准确数值，反而是约数数值，具体准确值为ln2/ln1.01。一般来说，使用72来作为计算一般息率的计算分子，其计算准确率会很高。但是对于大于10%以上相对较高的息率的时候，准确率又会下降。除了72法则之外，金融学上还存有71法则、70法则以及69.3法则，其都用作计算投资增减所需花费的时间。其中，对于低息率或者逐日复利而言，使用69.3的时候会得出相对准确的结果。

建筑工程中的钢筋管理几大误区及解决方案都在这了，值得收藏！

一、 构件抗震等级概念区分

为什么我在讲解开始的时候和大家先来肯定这个问题呢？因为，这影响到它的锚固取值，抗震和非抗震构件的锚固值取值是不一样的。列如：

1、 框支梁及框支柱。首先，我们从它的概念出发，在《高层建筑混凝土结构技术规程》JG3－2002中有说明：因为建筑功能的要求，下部大空间，上部部分竖向构件不能直接连续贯通落地，而通过水平转换结构与下部竖向构件连接。当布置的转换梁支撑上部的结构为剪力墙的时候，转换梁叫框支梁，而支撑架支梁的就是框支柱。既然它是主要受力构件，那么我们可以确定它是抗震构件。

2、 基础梁。因为基础梁是无抗震作用的，所以基础梁在计算时不考虑抗震计算，凡遇到需要计算锚固值时只计算La。

3、 板、非框梁。当水平地震来了的时候，在框架结构和剪力墙结构中，框架柱和剪力墙是首当其冲，而框架梁是损能构件，到了非框架梁即次梁和楼板的时候。已经不考虑抗震了。所以它是非抗震构件，而框架梁和剪力墙是抗震构件。

总结：

1、在基础里面除了筏形板和桩基是抗震的其余都是非抗震的。

2、在地面以上部分里除了楼板、楼梯板和次梁是非抗震的其余都是抗震的。

一、 独立基础和条形基础

我们的很多预算员在计算独立基础的钢筋和条形基础的钢筋时通常不会考虑到把钢筋进行适当的缩减。

1、独立基础内钢筋长度计算。在《建筑施工手册》第四版缩印版本P542页中规定当独立基础宽度≥3M时，横向受力钢筋的长度可以减至0.9B，并交叉布置；但06G101-6P47中规定当独立基础宽度≥2.5M时，横向受力钢筋的长度可以减至0.9B，并交叉布置。见图5-1

1、条形基础内主筋长度计算。在05SG811P12规定当基础长边B≧2.5M时，横向受力钢筋的长度可以减至0.9B，并交叉布置；在《建筑施工手册》第四版缩印版本P542页中规定当条形基础宽度≥1.6M时，横向受力钢筋的长度可以减至0.9B，并交叉布置。见图5-2

三、基础梁内箍筋分布规范及纵筋在端支座内长度计算

A、基础梁内上部和下部贯通钢筋的端部构造

1、基础主梁

（1）、端部无外伸

在图集04G101-29中说明“端部无外伸构造中基础梁底部与顶部纵筋成对联通设置（可采用通长钢筋、或将底部与顶部钢筋对焊连接后弯折成型），并向跨内延伸或在跨内规定区域内连接。成对连通后。底部或顶部多出钢筋按延伸至支座外侧弯折15d来计算”，见下图6-1、6-2、6-3：

计算示列1：

如图图6-4，基础主梁钢筋见其截面图1，试计算基础主梁内钢筋。

解：

上通长筋（2B25）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+［(400-保护层 *2)/2］×2

下通长筋（2B25）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+［(400-保护层 *2)/2］×2

上通长筋（2B20）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+15d*2

下通长筋（2B16）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+15d*2

计算示列2：

如图6-5，基础主梁钢筋见其截面图2，试计算基础主梁内钢筋。

解：

上通长筋（2B25）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+15d*2

下通长筋（2B25）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+15d*2

上通长筋（2B20）:长度＝Ln+支座宽1＋支座宽2-保护层 *2+15d*2

（2）、 端部有外伸

在图集04G101-29中说明端部有外伸构造中，不管是上部钢筋还是下部钢筋其端部构造全都按照伸至支座外边然后弯折12d来计算除下部钢筋第一排，但是我们在计算的时候一定要注意当在悬挑梁里面的上部钢筋见下图6-6、图6-7、图6-8：

计算示列3：

如图6-9，基础主梁钢筋，试计算基础主梁内钢筋。

解：

上通长筋（2B25）:

长度＝L1+Ln1+ Ln2+ L2+支座宽1＋支座宽2+支座宽3-保护层*2+12d*2

上部钢筋（2B20）:

长度＝Ln1+Ln2+支座宽1＋支座宽3-保护层 *2+12d*2

下通长筋（2B25）:

长度＝L1+Ln1+ Ln2+ L2+支座宽1＋支座宽2+支座宽3-保护层*2+12d*2支座负筋1（1B25）:

长度＝max[(Ln1+支座宽1/2+支座宽2/2)/3,(400+1.2La+支座宽1/2)]+ 支座宽1/2+L1-保护层

支座负筋2（1B25）:

长度＝max[(Ln2+支座宽2/2+支座宽3/2)/3,(400+1.2La+支座宽3/2)]+ 支座宽3/2+L2-保护层

2、基础次梁

（1）、端部无外伸

在图集04G101-36中我们可知基础次梁无外伸时上部钢筋入端支座的的长度计算max(支座宽/2,12d),下部钢筋入端支座≥La,但当边跨端部底部纵筋直锚长度≥La时可不设置弯锚。见图6-10:

计算示列4：

如图图6-11，基础次梁，试计算基础主梁内钢筋。

解：

1、上通长钢筋和下通长钢筋

上通长筋（2B25）:长度＝L1+Ln+ L2+＋支座宽2+支座宽3+max(支座宽1/2,12d) ＋max(支座宽4/2,12d)下通长筋（2B25）:长度＝L1+Ln+ L2+＋支座宽2+支座宽3+max(支座宽1-保护层＋弯折长度,La) ＋max(支座宽4-保护层＋弯折长度,La)

a) 非贯通纵筋（支座负筋）

支座负筋1（1B25）:长度＝max[(Ln+支座宽1/2)/3,(400+1.2La+支座宽1/2)]- 支座宽1/2+max(支座宽1-保护层＋弯折长度,La)支座负筋2（1B25）:长度＝max[(Ln+支座宽2/2+支座宽3/2)/3,(400+1.2La+支座宽3/2)]*2

（2）、端部有外伸同基础主梁

B、基础主梁和基础次梁内的箍筋根数计算

箍筋加密区与非加密区长度计算范围.在这里有必要先弄懂每个构件相互间谁以谁为支座。列如：框架柱和基础梁相交时，因为基础梁是框架柱的支座，因此基础梁箍筋满布，而框架柱是框架梁的支座，所以框架住内箍筋满布；非框架梁相交时，框架梁支是非框架梁的支座，因此框架梁箍筋满布。同理，两个次梁相交，截面小的梁以截面大的梁为支座，因此截面大的梁箍筋贯通，截面小的梁箍筋从截面大的梁外侧出来50 mm开始布置。如果两个梁截面相同，一般来讲是跨长较小的梁箍筋贯通。

计算示例5：

如图6-12，中框架梁为一级抗震，箍筋形式为A10@100/200（2）：单位：mm

解：

左加密区根数＝［max(2hb,500)-50］/100＋1

右加密区根数＝［max(2hb,500)-50］/100＋1

非加密区根数＝(Ln-左加密区根数-右加密区根 数)/200-1

计算示例6：

如图6-13，基础主梁箍筋形式为10A10@100/200（2），单位：mm

解：

加密区根数=10*2+(左支座宽-保护层)/100+1+ (右支座宽-保护层)/100+1

非加密区根数=(Ln-9*100*2-50×2)/200-1

总根数=加密区根数+非加密区根数

计算示例7：

如图6-14，基础次梁箍筋形式为10A10@100/200（2），单位：mm

解：

加密区根数=10*2=20

非加密区根数=(Ln-9*100*2-50*2)/200-1

总根数=加密区根数+非加密区根数

3、箍筋标注方式和计算

（1）、箍筋标注方式。在图集03G101-1P24以及图集04G101-6中说明箍标注方式有4种：

1、A10@100/200（4）。表示箍筋为一级钢，直径为10，加密区间距为100，非加密区间距为200，均为4肢箍；

2、A10@100（4）/150（2）。表示箍筋为一级钢筋，直径8，加密区间距为100，四肢箍；非加密区间距为150，两肢箍；

3、13A10@150/200（4）。表示箍筋为一级钢筋，直径10；梁的两端加密区各有13个四肢箍加密区间距为150，四肢箍；梁跨中部分间距为200，四肢箍；

4、9A10@100/12 A10@150/A12@200（4）。表示箍筋为一级钢筋，直径10，从梁端向跨内，间距100设置9道，间距150设置12道，其余非加密区间距为200，均为4肢箍。

四、筏形板基础

筏板基础分为平板式和梁板式两种类型。平板式筏基由柱下板带，跨中板带构成，当设计不分板带时，可按基础平板进行表达；梁板式筏基由基础主梁，基础次梁，基础平板等构成。

一、 梁板式

1、无外伸梁板式筏形板基础

（1）、无外伸无中间层钢筋梁板式筏形板基础,见图7-1

下通长钢筋：

长度=净长+ max(基础梁-保护层+15d,0.4lae(0.4la)+15d)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长-钢筋间距+保护层*2)/jj+1

上通长钢筋：

长度=净长+ max(12d,1/2基础梁)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长-钢筋间距+保护层*2)/jj+1

（2）、无外伸有中间层钢筋梁板式筏形板基础

下通长钢筋：

长度=净长+ max(基础梁-保护层+15d,0.4lae(0.4la)+15d)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长-钢筋间距+保护层*2)/jj+1

上通长钢筋：

长度=净长+ max(12d,1/2基础梁)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长-钢筋间距+保护层*2)/jj+1

中间层钢筋：

长度=净长+基础梁×2－保护层×2＋搭接长度×搭接个数＋12d*2

根数＝(净宽+基础梁×2-保护层*2)/jj+1

二、平板式（板带式）

1、无外伸平板式筏形板基础

（1）、无外伸无中间层钢筋平板式筏形板基础，见图7-2

长度=净长+基础梁×2-保护层×2＋max(1.7La(1.7Lae),板厚-保护层*2)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长＋基础梁×2-保护层*2)/jj+1

上通长钢筋：

长度=净长+ max(La,基础梁-保护层+15d)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长＋基础梁×2-保护层*2)/jj+1

中间层钢筋：

长度=净长+基础梁×2－保护层×2＋搭接长度×搭接个数＋12d*2

根数＝(净宽+基础梁×2-保护层*2)/jj+1

（2）、无外伸有中间层钢筋平板式筏形板基础

下通长钢筋：

长度=净长+基础梁×2-保护层×2＋max(1.7La(1.7Lae),板厚-保护层*2)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长＋基础梁×2-保护层*2)/jj+1

上通长钢筋：

长度=净长+ max(La,基础梁-保护层+15d)×2＋搭接长度×搭接个数

根数＝(净长＋基础梁×2-保护层*2)/jj+1

中间层钢筋：

长度=净长+基础梁×2－保护层×2＋搭接长度×搭接个数＋12d*2

根数＝(净宽+基础梁×2-保护层*2)/jj+1

筏形板基础在有外伸情况下有三种封边方式：

² 无封边，见图7-3

² 纵筋交错封边，见图7-4

² U型封边，见图7-5

五、柱插筋入支座长度计算规则

1、基础厚度小于2米时，柱插筋入支座长度计算为max(0.5LaE(0.5La)+a,基础厚－保护层＋a)，见图8-1

2、基础厚度大于2米时，柱插筋入支座长度计算为1/2基础厚+a，见图8-2

六、剪力墙

在钢筋工程量计算中剪力墙是最难计算的构件，具体体现在：

1、剪力墙包括墙身、墙梁、墙柱、洞口，必须要整考虑它们的关系；

2、剪力墙在平面上有直角、丁字角、十字角、斜交角等各种转角形式；

3、剪力墙在立面上有各种洞口；

4、墙身钢筋可能有单排、双排、多排，且可能每排钢筋不同；

5、墙柱有各种箍筋组合；

6、连梁要区分顶层与中间层，依据洞口的位置不同还有不同的计算方法。

二、剪力墙墙身竖向钢筋，图9-1

1、首层墙身纵筋长度＝基础插筋＋首层层高＋伸入上层的搭接长度

2、中间层墙身纵筋长度＝本层层高＋伸入上层的搭接长度

3、顶层墙身纵筋长度＝层净高＋顶层锚固长度

墙身竖向钢筋根数＝墙净长/间距+1（墙身竖向钢筋从暗柱、端柱边50mm开始布置）

4、剪力墙墙身有洞口时，墙身竖向筋在洞口上下两边截断，分别横向弯折15d。见图9-2

三、墙身拉筋

1、长度＝墙厚-保护层+弯钩（弯钩长度＝11.9+2*D）

2、根数＝墙净面积/拉筋的布置面积

注：墙净面积是指要扣除暗（端）柱、暗（连）梁，即墙面积-门洞总面积-暗柱剖面积 - 暗梁面积；

拉筋的面筋面积是指其横向间距×竖向间距。

例：(8000*3840)/(600*600)

一、连梁

1、受力主筋

顶层连梁主筋长度＝洞口宽度＋左右两边锚固值LaE

中间层连梁纵筋长度＝洞口宽度＋左右两边锚固值LaE

2、箍筋

顶层连梁，纵筋长度范围内均布置箍筋 即N=(LaE-100/150+1)*2+（洞口宽-50*2）/间距+1（顶层）

中间层连梁，洞口范围内布置箍筋，洞口两边再各加一根 即N=（洞口宽-50*2）/间距+1（中间层）

二、暗梁

1、主筋长度＝暗梁净长＋锚固

2、箍筋同框架梁计算

七、梁内的贯通钢筋入端支座的长度计算

当楼层框架梁的纵向钢筋平直段长度≧LaE且≧0.5hc＋5d时就可以直锚，也就是说当支座宽满足一定条件时钢筋不必向下弯折15d,但是不管钢筋是直锚还是弯锚，都要求纵筋伸过端柱中线5d至外侧纵筋内侧，且如果钢筋为弯锚的话，入支座的整个长度不一定要满足≧LaE(或La)这个条件，此条件不做为必须满足要件。在这里必须提一下，就是在计算纵筋弯锚时我们必须满足三个条件：首先,平直段必须满足过梁中心线5d且＞＝0.4LaE(或La)；其次弯锚必须满足15d。当纵筋伸至端柱满足过梁中心线5d，但是呢却不满足＞＝0.4LaE(或0.4La)此条件时，我们应该将纵筋按等强度、等面积代换为较小值，使得平直段长度满足过梁中心线5d且大于等于0.4LaE(或La)后再设置一个15d的弯勾，满足三控条件。

1、梁内钢筋入支座弯锚，见图10-1

2、梁内钢筋入支座直锚，图10-2

u 补充：

1、当我们遇到梁的下部纵筋直径不一样时，它的排数如何区分呢？列：梁下部钢筋为“4φ25+2φ22 2/4”时，作为“2φ22/4φ25”的处理是比较恰当的。因为，把粗钢筋放在下面的第二，有利于加强梁截面的承载力。见图10-3

沿梁全长顶面和底面的配筋（顶面指抗震通长筋），一、二级抗震等级不应少于2B14，且分别不应少于梁两端顶面和底面纵向配筋中较大截面面积的1/4，三、四级抗震等级不应该少于2B12。

八、楼层框架梁、非框架梁、井字梁支座负筋的长度计算。

在楼层框架梁中预算人员在计算该钢筋的长度都会以 第一排按梁净长（中间跨时按照左右跨的较大者而定）的1/3来计算，第二排按梁净长的1/4来计算。那么，遇到第三排该怎么办呢？难道所有的梁都可以按照这个方法来计算吗？陈青来的《钢筋混凝土平法设计与施工规则》结合各地实际的操作规范，总结如下规定：

（1）、框架梁上部纵筋的延伸长度（不分端支座与中间支座）：

1、当配置两排纵筋时，第一排延伸至Ln/3处，第二排延伸至Ln/4处；

2、当配置三排纵筋时，第一排延伸至Ln/3处，第二排延伸至Ln/4处，第三排延伸至Ln/5处；

3、当配置两排纵筋但第一排全跨通长时，第二排延伸至Ln/3处；

4、当配置三排纵筋但第一排全跨通长时时，第二排延伸至Ln/3处，第三排延伸至Ln/4处；

5、当配置超过三排纵筋时，应由设计者注明各排纵筋的延伸长度（看设计人员在图纸上有没有做相关的解释。如果设计人员没有明确说明的话第三排钢筋可以暂时根据第二排的负筋长度计算，但建议预算人员在编制说明中说明该项问题，以供对帐）；

（2）、非框架梁支座上部纵筋的延伸长度：

1、端支座。

A、当为普通非框架梁时，第一排钢筋延伸至Ln/5（由于普通非框架梁端部为取跨中正弯距配筋1/4的构造配筋，通常不需要配置两排）；

B、当为配置一排钢筋的弧形非框架梁时，该排钢筋延伸至Ln/3处；

C、当为配置两排钢筋的弧形非框架梁时，第一排钢筋延伸至Ln/3处，第二排钢筋延伸至Ln/5；

D、非框架梁中间支座的负筋长度计算同框架梁中间支座的负筋计算。

（3）、悬挑梁上部钢筋的延伸长度

悬挑梁的第一排钢筋从柱（梁）边缘算起，第一延伸至梁端头并下弯，第二排钢筋延伸至3L/4位置,其中L为悬挑梁的净长。

（4）、井字梁支座上部钢筋的延伸长度

井字梁的端部支座和中间支座上部钢筋的延伸长度理论上应该由设计者在原位加注具体数值。当采用平面注写方式时，应在原位标注的支座上的上部钢筋后的“（）”内加注具体的延伸长度；当采用截面注写方式时，则在梁端截面配筋图上注写的上部钢筋后的“（）”内加注具体延伸长度。

由于各个地方设计师的差异，通常相同的构件它们都会用不同的设计方法，如图11-1中我们可以看到3φ20是标注在第二跨梁的跨中部位，而在图11-2中我们看到3φ20是标注在第二跨梁的支座处。虽然梁的两种标注方法不相同，可是计算是一样的。在图11-2的中间跨长度是2米，而两个边跨都是8米，按照“中间跨时按照左右跨的较大者而定”得知，在计算中间跨支座负筋长度时是按照8/3米,而左右支座负筋相加就是8/3*2＞2米,所以左右支座负筋应该连接计算。

九、悬挑梁上部钢筋

悬挑梁当中上部第一排纵筋中不少于1/2伸至端部弯折,其余纵筋在近端部斜向下弯折,当悬挑长度L小于悬梁根部截面高度Hb的4倍时,第一排纵筋全部伸至端部弯折。

很多人在计算非纯悬挑跨梁上部钢筋入支座锚固时常常简单地同框架梁上部钢筋入支座的锚固，可是当非纯悬挑跨梁与支座内梁相连接但两跨梁有高差时，其构造要求是不一样的：当悬挑端顶面高于框架梁顶面，且满足c/(hc-50)＜=1/6时，悬挑端上部纵筋可由框架梁上部纵筋以缓坡弯折形式连接（计算案列8）图11-2,当悬挑端顶面高于框架梁顶面，且满足c/(hc-50)〉1/6时，则按照常规计算（计算案列9）图11-3:

计算案列8：

如图11-2，已知梁的悬挑端与非悬挑端梁的标高和长度，判断悬挑端上部钢筋与非悬挑端梁上部钢筋是否相连接，对它的长度进行计算。悬挑方式均按照2＃钢筋来计算。

解： 图11-2

1、判断：

因为，C/(hc-50)=(2.55－2.45)/(0.8-0.05)=0.1/0.75=0.13＜=1/6

2、计算长度

已知 C1＝50（规定）所以，悬挑端上部钢筋＝L2－保护层＋max(梁高—2*保护层，12d)＋SQRT｛（0.8-0.05-保护层）2＋(2.55－2.45-保护层)2}＋C1＋L计算案列9：

如图11-3，已知梁的悬挑端与非悬挑端梁的标高和长度，判断悬挑端上部钢筋与非悬挑端梁上部钢筋是否相连接，对它的长度进行计算。悬挑方式均按照2＃钢筋来计算。

解：

1、判断：

图11-3因为，C/(hc-50)=(2.55－2.45)/(0.5-0.05)=0.1/0.45=0.13＞1/6 2、计算长度

所以，悬挑端上部钢筋＝L2－保护层＋max(梁高—2*保护层，12d)＋max(La，0.5hc+5d)

十、梁内腰筋，即构造钢筋和扭筋

1、梁侧面腰筋由侧面构造筋和扭筋组成，构造筋在钢筋前面G开头，而扭筋则在前面N开头。在图集03G101-1P24中对它们的锚固和搭接值以及钢筋根数的计算有相关的说明：

（1）、当为梁侧面构造钢筋时，其搭接和锚固长度可取为15d;

（2）、扭筋时，其搭接长度为Ll 或Lle（抗震）；其锚固长度与方式同框架梁下部纵筋

（3）、陈青来《钢筋混凝土结构平法设计与施工规则》P314页中说明“…….侧面纵筋在端支座的锚固，均伸至与外侧纵筋净距为25mm位置，弯勾15d…..”。见图12-1

在这一节我们主要讲不伸入支座的梁下部纵筋。可能很多人都会问一个问题：“当梁下部钢筋有若干排时我们怎样去确定那些钢筋伸入支座，而哪些钢筋是不伸入支座的呢？”回答：“不伸入支座的梁下部纵筋限于梁的第一排下部纵筋，第二排下部纵筋按照以前的规定伸入支座。”因为第二排下部纵筋伸入支座，梁就不会失去支座的支承。此外，在竖向荷载的作用下，每跨梁的正弯矩最大值在跨中，而在还未到达支座的地方，弯矩包络线就已经上升为负弯矩了。所以，在支座附近是没有正弯矩存在的，第一排下部纵筋不伸入支座也就不会对结构产生不利影响了。然而，如果考虑水平地震力的作用，在支座附近是存在正弯矩的。这个正弯矩的大小如何，第一排下部纵筋该不该伸入支座，这些问题只有设计师才知道。所以，“不伸入支座的梁下部纵筋”是由设计师指定的。当设计师没有指定“不伸入支座的梁下部纵筋”的时候，施工人员不能自作主张执行“梁下部纵筋不伸入支座”。在图集00G101里面确定截断点距支座边缘1/20净跨值。但是经过进一步的分析，在0.05Ln位置截断一部分钢筋，距离支座很近，可能会影响伸入支座的钢筋的受剪销栓作用，如果距离大约一 （图13-1）个梁的高度，即1/10净跨值,对受剪销栓作用的影响就很小了，所以在图集03G101-1P60的规定更趋于合理。其规定：不伸入支座的钢筋长度计算为距支座边0.1起算，见图13-1。伸入支座的钢筋同常规计算。

ln2近似值计算步骤

本文通过泰勒公式，介绍计算自然对数ln2近似值的主要步骤。

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…+(-1)^nx^(n+1)/(n+1)+…

ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-…-x^(n+1)/(n+1)+…,

两式中：-1<x<=1。

上述两式相减得到：

ln(1+x)-ln(1-x)=2[x+x^3/3+x^5/7+…+x^(n+1)/(2n+1)]，

其中：-1<x<1,且n≥1。

则：ln[(1+x)/(1-x)]=2[x+x^3/3+x^5/7+…+x^(n+1)/(2n+1)].

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+…+(-1)^nx^(n+1)/(n+1)+…

ln(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-…-x^(n+1)/(n+1)+…,

两式中：-1<x<=1。

上述两式相减得到：

ln(1+x)-ln(1-x)=2[x+x^3/3+x^5/7+…+x^(n+1)/(2n+1)]，

其中：-1<x<1,且n≥1。

则：ln[(1+x)/(1-x)]=2[x+x^3/3+x^5/7+…+x^(n+1)/(2n+1)].

本题计算ln2的近似值，则：

设2=(1+x)/(1-x).

化简得：x=1/3，代入上式得：

ln2≈2[1/3+(1/3)*(1/3)^3]≈56/81

即lna≈0.6913.