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无穷到底是“实无穷”还是“潜无穷”？数学家们这样认为
1924年，德国著名数学家希尔伯特（Hilbert，1862～1943）在一次演讲中提出了著名的“希尔伯特旅馆”问题：
一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了，但这时来了一位新客人。请问老板可以安排一个房间给新客人住吗？
这不是脑经急转弯，而是一道实实在在的数学难题。问题中涉及到的“无限”，也就是“无穷”，因为不能被肉眼所感知，历代数学家为之可谓是伤透了脑筋。
一、“无穷”真的存在吗？地球上的沙粒有多少颗？或者说如何描述一个很大的数。这对我们当然是小菜一碟——“科学计数法”能轻易的表示任意大的数，如地球质量约为6*10^24（kg）等.但是对于古人却是很困难的，以至于最著名的古希腊数学家阿基米德专门写了一本《数沙者》来解决这个问题。阿基米德在此书中得到了一个数（1后面跟100个零），尽管已经很大，但是该数远没有到达“数的终点”。因此产生了另一个问题，就是数有终点吗？或者说“无穷大”是真实存在的吗？越说越玄了，又或者这更像一个哲学问题。
事实上，“无穷”最开始就是因为哲学问题被引入的，后来柏拉图等古希腊先贤对其有一定的认识，最后到了公元前4世纪，古希腊物理学家亚里士多德（Aristotle公元前384～前322）将“无穷”分为了两类：实无穷和潜无穷。
实无穷：认为“无穷”是一个整体，是已经构造完了的东西，即无穷是实在的.
潜无穷：“无穷”是无限延伸的，永远处于构造中，并且永远无法完成，即，无穷是潜在的.
亚里士多德更倾向于那一类勒？当然是“潜无穷\"，这影响了数学一个时代。但是随着讨论的深入，问题的困难系数似乎越来越大，以至于数学家们在接下来10多个世纪里，对待“无穷”随时处于摇摆不定的状态。
这让我想起了两个至今还争论不休的问题：人的本性是“善”的呢，还是“恶”的呢？数学到底该是“发现”呢，还是“发明”？怎么说怎么有道理，几千年的争论并没有让问题得到根本的解决，而且越来越复杂。
二、“实无穷”和“潜无穷”谁是对的？大家别误会，小编没打算也没实力来讨论无穷的哲学意义。让我们接着来看这两种观念——实无穷和潜无穷，给数学带来的重要影响。
微积分是17世纪最主要的一项数学发现，它决定了接下来几个世纪的数学发展方向。和我们知道的一样，微积分是从研究“无穷小”开始的。无论是积分中使用“无穷小分析法”来计算曲线围成的面积、曲面围成的体积，以及曲线的长度，还是微分中的求曲线的切线（或斜率），都会出现一个“无穷小量”.
牛顿在他1671年写成的《流数法与无穷级数》一书中用”o”表示“无穷小的时间间隔”，假定流量为：y=x^n,则y+y’o=(x+x’o)^n,右边按照二项式定理展开...
显然，牛顿将“无穷小o”当成了一种实体存在的对象来研究，17/18世纪的其他著名数学家如莱布尼茨、约翰·伯努利、欧拉等，也都无一例外的将“无穷”视为“实无穷”，也就是实实在在存在的。加上微积分在实践和工程上的巨大应用，让大部分数学家对“无穷小量”的存在问题深信不疑。但同时，反对的声音也有着强有力的反击论据。
贝克莱（George Berkeley，1685-1753）是18世纪著名的数学家，他在听到牛顿关于微积分的工作后，出版了一本标题很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文......》，其目的只有一个：攻击牛顿的微积分理论。
显然，他达到了他的目的，因为他并非是无理取闹，而是真正发现了当时情况下的微积分理论的一个重大漏洞：
在用“流数法”求解函数微分的过程中，牛顿先是使用了“无穷小的时间间隔o”,运算过程中它明显不为零，但是最后“略去所有含有o的项”牛顿又将它看成了零。那么，o在微积分扮演了两个角色：既要等于0，又要不等于0 . 这不是自相矛盾的吗？
问题不止于此，要知道，微积分在诸多运用中都取得了巨大成功，这表明微积分（或叫牛顿的“流数法”）是没有问题的，但是18世纪的数学家们又无法解决Berkeley提出的这个“贝克莱悖论”。矛盾产生的根本在哪里呢?数学家们尝试了多种方法，但要直到19世纪才被认识和解决。
19世纪，“现代分析之父” 魏尔斯特拉斯（Weierstraß，1815-1897）在阿贝尔、柯西等人工作的基础上，以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础。该定义将无穷小作为极限为0的变量，归入到函数的范畴.“排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难”（Hilbert）.
由于ε-δ语言建立在极限的基础上，此时对于无穷的理解是倾向于 “潜无穷”这边的。
三、康托尔的集合论19世纪，微积分的基础问题已被完全解决，数学家们进而转向去研究数系（甚至整个大厦的）基础问题。而康托尔（Cantor，1845-1918）是其中最显目的一个。1874年，他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的。这意味着什么呢？我们回到片头的“希尔伯特无穷旅馆”问题。
这个问题的答案是：可以安排下新来的客人。做法如下；
老板将1号房间的客人请到2号，2号请到3号，….，依次下去，将n号的客人请到n+1号，... 这样，1号房间就空出来了，给客人入住即可。
估计有人会问，最后一个房间的客人去哪里呢？这个问题是没有意义的，因为既然是无穷多个房间，就不会有最后一间。
是不是有些不可思议呢？这都不算，大家继续往下看。
（1）.自然数和平方数谁更多？答案：一样多
（2）.有理数和正整数谁更多？答案：一样多
（3）.区间（0，1）上的点和（0，100）上的点谁更多？答案：一样多
（4）.数轴上的点和坐标平面内的点谁更多？答案：一样多
（5）.实数和有理数数谁更多？答案：实数
是不是整个人都有些不好了，欧氏几何告诉我们，整体大于部分。但是到了无穷这里，一切规则都变了。为了更好理解康托尔眼中的无穷，让我们从基础开始。
康托尔给集合下的定义
我们将由一个或多个确定的个体（元素）构成的整体叫做集合A，集合中元素的个数叫做势|A|。如，{0,1,2,3,4 }表示一个集合-记为A，它的元素个数为｜A｜=5.如何定义“一样多”。康托尔的想法是两个集合间的元素能“一一对应”。如，集合B=｛a,b,c,d,e｝,|B|=5 ，有|A|=|B|. 它们”一样多”.同时，我们注意到:0→a, 1→b,2→c,3→d,4→e. 两个集合A与B能够“一一对应”。
这就是集合论的核心，两个集合“一样多”，是指它们之间能建立起“一一对应”的关系。这样我们来构造正整数与平方数的对应。
再来看看正整数与有理数的对应，
按照箭头的方向，我们得到一个与自然数\"一一对应\"的结合：{1,2,1/2,1/3,3,4,3/2，.....}.所以正整数与有理数是一样多的，或者“势”一样。但实数的全体与正整数的全体却是不能构成这样的“一一对应”的。康托尔使用了反证法。
假设实数的全体（先取0到1之间的所有实数）可以与正整数“一一对应”，按照上图将其罗列出来。现在我们构造一个数：它的第一位小数不为a1（用！a1表示），第二位小数不为a2,......依次下去，我们发现，得到的数0.！a1!a2....不是列举中的任何一个数。换句话说，我们假设（0,1）之间的数列举完了，结果又出现了一个新的实数。矛盾。 这样康托尔得到(0,1)之间的实数比正整数要“多”，进而得到实数的个数比正整数要“多”.
在康托尔的理论里，所有自然数、实数等都能构成集合，也就是自然数集、实数集等是实际存在的，无穷也就自然的向“实无穷”倾斜了。这些理论让他的老师克罗内克接受不了，一轮轮的理论攻击（当然不只是人身攻击，而更多的是正当的、有理的）就开始了。最后的结果是，康托尔时而认可自己的成果，时而又怀疑，最终在多重压力下，他住进了精神病院。
尽管精神上的压力是巨大的，但康托尔并未停止研究。在希尔伯特等20世纪的数学大家的支持和帮助下，康托尔证明了他的集合理论是对的。而且在1900年召开的数学家大会上，希尔伯特将康托尔的“连续统假设”问题立为23个问题之首。再经过一个多世纪的发展，集合论已经成为了整个数学的基础。暂时，实无穷处于上风，但争论仍在继续。
从集合到无穷大，无穷大该如何比较大小？
近来重温庄子名篇，
读到：“楚之南有冥灵者，以五百岁为春，五百岁为秋。”
正在感叹人生不过沧海一粟之时，
然而下一句就说：“上古有大椿者，以八千岁为春，八千岁为秋。”
你说名叫冥灵的大龟够长寿了吧，还是被名为大椿的古树秒杀，你大吧！总是有比你更大的东西存在。
作为一名理科生，不由自主地就想到了无穷大！这种近乎哲学的东西，最容易引发人类的思考了。
几千年来，有不计其数的数学家都研究过无穷大，然而无穷大就像爱情一样，让人无力把握和捉摸。
提到无穷大就不得不提一名数学家——格奥尔格·康托尔（Cantor），康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论。这为无穷大的研究提供了出路！
格奥尔格·康托尔（Cantor）
不过由于早期学界的不认可，康托尔在学术深受打击，一度患有精神上的疾病，最后在一家精神病院中郁郁而终。
所谓“千金易得，知己难求”，但好在康托尔的研究还是获得了大卫·希尔伯特（David Hilbert）的高度赞誉，并且自己也投入到无穷大的研究。
大卫·希尔伯特（David Hilbert）
从集合说起为什么说集合论的创立为无穷大∞的研究奠定基础呢？
因为无穷大∞属于一个比较抽象的概念，直接去比较无穷大∞和无穷大∞+1，是不太好搞清楚的。
因此康托尔就引入了集合的概念。
首先，我们把“一堆确定的东西”称作集合，集合里的“东西”称为元素。
比如数字1就是无穷大集合里的一个元素。
当两个集合里的元素一样多的时候，我们称两个集合一样大。
举个简单的栗子，
假如丁石要拿5个苹果换等量的马化的梨子，那么马化应该给丁石几个梨子呢？
很明显，马化要给丁石5个梨子。那么再简单一点，只要丁石的苹果能和马化的梨子“一一对应”上，我们就知道他们相等了，因此称这两个集合一样大。
丁石苹果换马化梨子
在这里，马化的5个苹果是一个集合，每个苹果是集合里的一个元素。
感觉很简单对吧，但这却为∞与∞+1的比较提供了一个利器！
希尔伯特的旅馆——∞与∞+1居然是一样大！？有了当两个集合里的元素一样多的时候，我们称两个集合一样大。这个证明的利器，我们接着就来说说到底怎么比较。
说到∞与∞+1，就不得不提到的是——希尔伯特的旅馆。
这是一个神奇的旅馆！
为什么说它神奇呢？
因为它很赚钱啊！！（×）
嗯..开个玩笑，虽然它确实是很赚钱，但我们要讨论的并不是赚钱。
首先，希尔伯特的这家旅馆特别之处在于，它有无数∞间客房。
假设他正值放假客流高峰期！所有的客房都住满了客人。
这天风雨交加，又有一位客人来到了旅馆，说要住店。
老板说：“不行啊！我这里住满了呀！”
客人：“咋整，我也没地去，就要住你这里。”
老板说：“容我想想！”
这时老板让1号房间的客人住到2号房间,2号房间的客人住到3号房间，3号房间的客人住到4号房间……n号房间的客人住到n+1号房间，以此类推，1号房间就空了出来。这位客人也就顺利住了下来。这时∞的客房与∞+1的客人都“一一对应”上，因此∞与∞+1是一样大的。
图片来源：知乎马同学
图片来源：知乎马同学
假如这家旅馆生意火的爆炸！又有无穷多个旅客要来住店，那该怎么办。
老板有了之前的经验，这次处理起来就得心应手了。
老板让1号房间的客人住到2号房间，2号房间的客人住到4号房间，3号房间的客人住到6号房间……n号房间的客人住到2n号房间，这样奇数号房间的客房就空了出来，我们知道奇数的个数也是无穷多个的，因此这无穷多个旅客也就能住进来了。也就是说∞与∞+∞是一样大的。
根据上面的理论来说，我们又可以得到自然数的个数等于奇数的个数又等于偶数的个数，因为他们的每一个元素都可以找到与之一一对应的元素。
是不是很神奇，奇数和偶数明明是自然数的一个部分，然而整体和部分居然是一样多的。
科学有时候就是违反常识的，大胃老师经常跟同学说，数学是不能靠感觉的，你一定要真真实实的去定义了去证明了才能下定结论！
其实无穷大能说的还有很多，比如康托尔的无穷大算数、葛立恒数（tree3）、阿列夫0、1、2……（ℵ₀、ℵ₁、ℵ2），如果大家有兴趣，大胃老师下期会继续介绍跟无穷大有关的知识。
最后送给大家一句大胃老师很喜欢的句子：
盖将自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。
+83.1415926成语答案是什么：无穷无尽
3.1415926打一成语是什么？成语猜猜看到后面的题目是越来越难，那么在进士的关卡中有这么一道题目上面写着数字3.1415926····这是什么成语呢?感兴趣的可以来了解一下!
+83.1415926成语答案是什么
3.1415926....这个是π的数值，是没有止境的。
而且+8那个其实也不是8，是数学里面的的符号，代表着无穷。
那么这个成语就很好猜了。
正确答案是无穷无尽。
穷：尽、完。尽：完。没有尽头，没有限度。
出自宋·晏殊《踏莎行》：“无穷无尽是离愁，天涯地角寻思遍。”
近义词：无边无际、应有尽有
反义词：寥寥无几、寥若晨星
+83.1415926成语答案是什么
正确答案就是无穷无尽。
“无穷无尽”和“无边无际”都含有没有尽头，没有止境的意思。但“无穷无尽”多指时间，偏重在形容数量极多;“无边无际”多指空间面积大
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